\(为什么0.9999\cdots=1\)

有不少人不能理解为什么无限循环小数\(0.9999\cdots=1\),而认为\(0.9999\cdots<1\)。理由如下:0.9小于1,0.99小于1,\(0.9\cdots9\)(小数点后无论有多少个9)也都小于1,这样,即使小数点后有无穷多个9,无限循环小数\(0.9999\cdots\)还应该小于1,而不应该等于1。

这看上去似乎有些道理,但其实是一种误解,是由于没有理解无限循环小数的确切含义造成的。事实上,有一些巧妙的“证明”立即可以说明无限循环小数\(0.9999\cdots=1\)。比如,

无限循环小数

证法1:设\(x=0.9999\cdots\),那么, \[10x=9.9999\cdots=9+0.9999\cdots=9+x.\] 这样,\(10x–x=9\),即可求得\(x=1\)。

证法2:我们已经知道\(1/3=0.3333\cdots\),等式两边同乘以3,立即得到\(1=0.9999\cdots\)。

这样的“证明”有很多,读者也可以想出自己的方法来。上述的证法1特别有意思,它不仅告诉我们\(0.9999\cdots=1\),而且还给出了化无限循环小数为分数的一个方法。

不过,有读者可能会说:上面的证明我认可,可是我还是觉得\(0.9999\cdots\)要比1小,这样的证明并没有消除我原有的疑惑,也不明白为什么\(1/3=0.3333\cdots\)。

几种著名的极限

为此,现在让我们详细解释为什么\(1/3=0.3333\cdots\)。从这个解释中会看到一个无限循环小数是怎样形成的,正确理解无限循环小数的意义,特别是能看到它与有限小数的区别,从而最终消除大家的疑惑。现在让我们先看一看下列用3去除1的算式: 这里,我们每做一次除以3(即除式顶部每添加一个3),都用了一次\(10–3×3=1\)或\(10÷3=3\cdots1\)。正因为每次除以3都余1,使得除以3这个过程可以无限重复地做下去,从而得到的商是一个无限循环小数\(0.3333\cdots\),这样我们就有了\(1/3=0.3333\cdots\)。

如果我们仅做有限次除以3,即上面的竖式只是一个有限竖式,那么,竖式的下端总有一个余数1,这是我们能继续除下去的基础,同时也说明了\(0.33\cdots3\)(有限个3)是小于\(1/3\)的。但是,我们在做了无限次除以3,即左面的竖式变为一个无限长的竖式后,把最右下端的1给忽略掉了,而直接让\(1/3=0.3333\cdots\)。那么,为什么此时这个1消失了,或者说扔掉这个1是合理的呢?我们来看看每次除以3所余的1到底是什么。

如果只除以3一次,竖式表示的是\(1/3=0.3+0.1/3=0.3+(1/3)×10^{–1}\),而竖式中最下面的余数1表示的是余项\((1/3)×10^{–1}\)。如果除以两次3,意味着\(1/3=0.33+0.01/3=0.33+(1/3)×10^{–2}\),余数1表示\((1/3)×10^{–2}\)。一般地,除n次得到 \[1/3=0.\underbrace{ 33\cdots3 }_{\text{ \(n\)个}3}+(1/3)\times10^{-n}.\] 余数1表示的是\((1/3)×10^{–n}\)。这时,我们将1/3分成了两个部分之和,第一部分是小数\(0.33\cdots3\),第二部分是余项\((1/3)×10^{–n}\)。现在如果除无限次,即除的次数\(n\)等于无穷大,那么,第一部分的小数就变成了无限循环小数\(0.3333\cdots\),而第二部分余项呢?我们立刻可以看到,它变成了0!现在明白了,原来我们用竖式做除法,除无限次后扔掉的其实不是1而是0,当然可以把它忽略掉了。而式子 \[1/3=0.\underbrace{ 33\cdots3 }_{\text{ \(n\)个}3}+(1/3)\times10^{-n}.\] 就变成了\(1/3=0.333\cdots+0=0.3333\cdots\)

由于次数\(n\)是一个数,而无穷大不是数,说“\(n\)等于无穷大”并不准确,数学上我们说\(n\)趋向于无穷大,记为\(n→∞\)。此时,余项\((1/3)×10^{–n}\)趋向于0,而小数\(0.\underbrace{ 33\cdots3 }_{\text{ \(n\)个}3}\)趋向于无限循环小数\(0.3333\cdots\),分别记为\((1/3)×10^{–n}→0\)和\(0.\underbrace{ 33\cdots3 }_{\text{ \(n\)个}3}→0.3333\cdots\)。我们把上述过程列一个表可以看得很明白:

\[1/3\] \[=\] \[0.3\] \[+ \quad (1/3) ×10^{-1}\]
\[1/3\] \[=\] \[0.33\] \[+ \quad (1/3) ×10^{-2}\]
\[\vdots\] \[\] \[\vdots\] \[\vdots\]
\[1/3\] \[=\] \[0.33\cdots3(n个3)\] \[+ \quad (1/3) ×10^{-n}\]
\[\downarrow\] \[(n \rightarrow \infty)\] \[\downarrow\] \[\downarrow\]
\[1/3\] \[=\] \[0.3333\cdots\] \[+ \quad \quad \quad 0 \quad \quad \quad\]

上述过程表明:不管小数点后有多少个3,只要是有限多个,\(0.33\cdots3\)总小于\(1/3\),但一旦小数点后有了无限多个3,\(0.3333\cdots\)却是实实在在等于\(1/3\)!这一事实也说明,我们不能把对任意“有限”的情形成立的事实,简单地搬到“无限”的情形。一旦涉及无限,情况就会变得很奇特。

现在回来说明\(1=0.9999\cdots\)就相对比较容易了,我们也只要列一个类似的表就能完全说明问题了。

\[\quad 1\] \[=\] \[\quad \quad \quad\ 0.9\quad \quad \quad \quad\] \[+ \quad \quad \quad 10^{-1}\]
\[\quad 1\] \[=\] \[0.99\] \[+ \quad \quad \quad 10^{-2}\]
\[\quad \vdots\] \[\] \[\vdots\] \[\quad \quad \quad \vdots\]
\[\quad 1\] \[=\] \[\quad \quad \quad \quad \quad 0.99\cdots9(n个9)\] \[+ \quad \quad \quad 10^{-n}\]
\[\quad \downarrow\] \[\quad (n \rightarrow \infty)\] \[\downarrow\] \[\quad \quad \quad\downarrow\]
\[\quad 1\] \[=\] \[\quad \quad \quad 0.9999\cdots\] \[\quad \quad + \quad \quad \quad 0 \quad \quad \quad\]

影响人们承认\(0.9999\cdots=1\)的原因,可能是将对任意有限的小数成立的事\(0.99\cdots9\)小于1,想当然地照搬到无限循环小数\(0.9999\cdots\)上了。

顺便指出,每个有限小数都有一个无限循环小数和它相等,比如\(0.25=0.249 999\cdots\)。因此,分数化为小数时有时并不唯一,但每个分数都可化为无限循环小数,且是唯一的。