填幻方，是国内外人们都很喜爱的一种数学游戏。幻方又叫纵横图，已经有千余年的历史了，它是古代中国人民的一项伟大创造，还被发现有许多应用。

最初的幻方是将1～n²这个n²自然数排列成纵横各有n个数的正方形，使得每行、每列及两条对角线上的n个数之和都相等。由于纵横各有n个数字，所以叫它“n阶幻方”。后来，取消了幻方中的数字必须是“1～n²”这个限制，改为“n”个不同的自然数”。也就是说：将个不同的自然数排成n行n列的方阵，使得每行、每列及对角线上的n个数之和都相等。为了与原先的所说的n阶幻方相区别，这样排歹的幻方称为“n阶广义幻方”。在不致引起混淆的情况下，有时也简称它为“n阶幻方”。如果没有必要强调是n阶的，甚至更简称为“幻方”。

n阶广义幻方的个数要比n阶幻方的个数多得多。以3阶幻方为例，表面上看它共有8个：

实际上，从第1个幻方出发，经过绕中心旋转，或者按竖直中线反射以后，就可以得到其他7个幻方。所以，3阶幻方实质上只有1个。对于3阶广义幻方来说，情况就不同了。下面是2个广义3阶幻方：

它们不可能从第（1）个幻方通过旋转或反射得到。在第（1）个幻方中，每个数都加上自然数m，就可以得到一个新的3阶广义幻方。在广义幻方（9）中，m=5。如果在第（1）个幻方中，数k加上（k+1）d（其中d是任意一个自然数，1≤k≤n），这样也可以得到一个新的3阶广义幻方。在广义幻方（10）中，

近年来，有人在广义幻方中找到了两个双重的广义幻方。其中一个是8阶的，另一个是16阶的。它们不仅每行每列及对角线上的各数之和相等，而且各数之积也相等，因而称之为“双重广义幻方”。这在国内外尚属首次发现。

双重广义幻方简称为“双重幻方”。下面列出的是8阶双重幻方：

4050 6111 1995 1338 4641 5336 2692 677

4669 5304 2708 673 4074 6075 2007 1330

2716 675 4683 5320 2001 1326 1062 6057

1989 1334 4038 6093 2700 679 4655 5352

1346 2031 5967 4002 665 2676 5400 4753

669 2660 5432 4725 1354 2019 6003 3978

5416 4711 667 2652 6021 3990 1358 2025

5985 4014 1350 2037 5384 4739 663 2668

在这个双重幻方中，每行每列及两条对角线上的8个数之和都是26840，8个数的乘积都是

2 981 655 295 772 625 441 274 032 274 000。