任何三角形都等腰?听到这样的结论,人们的第一反应是:这绝不可能。不相信吗?看看我们给出的“证明”。
如果三角形本来等腰,结论自然成立。下面给出非等腰三角形也等腰的“证明”。
证明过程是这样的。设三角形\(ABC\)是非等腰三角形。我们分别作出\(∠A\)的平分线与\(BC\)边的垂直平分线,则两者一定相交(若重合或平行,都会推出三角形等腰)。
设交点为\(O\)点,则两者或相交于三角形内部,如图1所示;或相交于三角形外部,如图2所示。
![]() |
图1 |
![]() |
图2 |
过点\(O\)分别作\(AB\)、\(AC\)的垂线\(OE\)与\(OF\),交\(AB\)于点\(E\),交\(AC\)于点\(F\),两个直角三角形\(AOE\)与\(AOF\)有一公共边\(AO\),又\(∠EAO\)=\(∠FAO\),因此两三角形全等。由此推得\(AE\)=\(AF\),并且\(OE\)=\(OF\)。
连接\(OB\)、\(OC\),因为\(OB\)=\(OC\)(\(O\)为\(BC\)垂直平分线上的点),所以直角三角形\(OBE\)与直角三角形\(OCF\)全等,从而\(BE\)=\(CF\)。
于是,对图1情形有\(AB=AE+BE=AF+CF=AC\)。而对图2情形有:\(AB=AE–BE=AF–CF=AC\)。
无论哪种情况,我们都证明了非等腰三角形\(ABC\)等腰!
“证明”似乎无懈可击,结论却明显不成立。问题出在什么地方呢?“证明”过程中的漏洞点出来其实很简单:上面画的图形是不准确的。正确的图形如图3所示(设\(AB\)>\(AC\)):
![]() |
图3 |
这样,虽然如上面所证,仍能通过两个三角形全等推得\(AE=AF\)以及\(BE=CF\)。但\(AB=AE+BE\),而\(AC=AF–CF\),因此推不出\(AB=AC\)。
这一方面提醒我们,画图时应注意准确,否则会把自己引入歧途。另一方面告诉我们直观尽管有很大用处,但是由几何直观得到的结论并不一定可靠。