黎曼ζ函数是当变量\(s\)为大于1的实数时，由\(ζ(s)=\frac{1}{1^s}\)+\(\frac{1}{2^s}\)+\(\frac{1}{3^s}\)+\(\frac{1}{4^s}\) \(\cdots\)确定的函数，但黎曼ζ函数可扩充定义域为整个复平面上的函数。\(s=–2，–4，–6，\cdots\)是黎曼ζ函数的零点，称为平凡零点。除此之外，ζ函数还有很多其他零点，称为非平凡零点。黎曼猜想就是说所有非平凡零点的实部都是\(\frac{1}{2}\)，即所有非平凡零点都应该位于直线\(\frac{1}{2}+ti\)（临界线）上。欧拉建立了黎曼ζ函数和素数之间的联系 \[ζ(s)=\frac{1}{1-2^{-s}}\cdot \frac{1}{1-3^{-s}}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{1-p^{-s}}\cdot\cdots \ _.\]

这里，等式右边的乘积中的\(p\)取遍所有的素数，因而右边是无穷多个分式的乘积，称为欧拉乘积。由此，黎曼ζ函数在研究素数的解析理论中起到了关键作用。