在我国古代的数学著作——《周髀算经》中，第一篇就有“勾三股四弦五”。所谓勾和股，是指直角三角形的两个直角边，而弦是指它的斜边。“勾三股四弦五”是对勾股定理的一种描述。所谓勾股定理，就是直角三角形斜边上的正方形的面积，等于两条直角边上正方形面积的和。这个定理在有些国家被称为毕达哥拉斯定理。

直角三角形的三边，除了可以为3、4、5外，还有很多其他的情况，例如5、12、13，8、15、17等。而这些数组，也就是满足方程x²+y²=z²的正整数组（x，y，z），被称为勾股数组。由于方程x²+y²=z²有三个未知数，有无数组解，因此这种方程也叫不定方程。显然，如果（x，y，z）是一组勾股数，那么（kx，ky，kz）也一定是一组勾股数。反之，如果x、y有公约数d，那么，d也一定是z的约数。也就是说，它们之间的公约数一定相等。因此，通常我们只考虑x、y、z两两互素的情况。

那么，x、y、z之间有什么关系呢？也就是说，怎样来构造一勾股数组呢？

公元前6世纪，希腊数学家毕达哥拉斯的方法是:任取一个奇数，把它的平方数分成相差为1的两个数，这三个数就是一组勾股数组。也就是说，先取奇数2x+l，再把它的平方数4x²+4x+1，分成为2x²+2x和2x²+2x+1两个数，那么2x+1、2x²+2x²+2x+1就是一组勾股数组。例如67、2244、2245。

公元1世纪，在《九章算术》中有一个更为巧妙的方法：如果给了两个数m、n，那么$\frac{1}{2}({m^2} - {n^2})$、mn、$\frac{1}{2}$、（m²+n²)就是一组勾股数组。例如当m=7，n=3时，就得出20、21、29；当m=5，n=3时，就得出8、15、17。公元3世纪，大数学家刘徽用几何方法证明了这个公式。

公元3世纪，希腊数学家丢番图提出的公式是：$\frac{{2mz}}{{{m^2} + 1}}$、$m\frac{{2mz}}{{{m^2} + 1}} - z$、z，如果令$m = \frac{u}{\nu }$，z=u²+v²那么，就得到2uv、u²+v²、u²+v²。你看出来了吗，它和《九章算术》的公式只差一个系数2；而毕达哥拉斯的公式也正是这个公式的一个特殊情况：u=z+1，v=z0

那么，随便给两个数m、n或u、v，用上面的公式，是不是能把所有的两两互素的勾股数组都构造出来呢？当然不行。但是，如果我们把m、n或u、v加以限制，也就是说，如果m、n是两个互素的奇数，那么，用《九章算术》的那个公式，就可以造出全部两两互素的勾股数组，因此，我们可以把它们叫做方程x²+y²=z²的通解公式。当然，对于同一组勾股数，可以用不同的公式求得。

仔细观察勾股数组，我们还可以发现：它们总是具有一定的奇偶关系，也就是二奇一偶。事实上，如果x、y、z是一组两两互素的勾股数，那么x、y必定一奇一偶，z必为奇数。为什么会是这样呢？请你自己作一个证明。

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