对于分数的加法，我们是很熟悉的了，可是我们这里说的是分数的“加成”。什么是分数的加成呢？举个例子来说，给出$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{5}$两个分数，将它们的分母加起来，得和为8，将它们的分子也加起来，得和为3，然后，以8和3分别作分母和分子，构成一个新的分数$\frac{3}{8}$它就是$\frac{1}{3}$和$\frac{2}{5}$的“加成分数”，这个计算过程叫作分数的“加成”。

“分数的加法”和“分数的加成”，是两个全然不同的概念，我们切不可将它们混淆了。那么，分数的加成有什么用处呢？

我们常常要找一个简洁的分数来作为一个小数的近似值。譬如，给出小数3.1415926，要找一个分数与它近似相等。当然可以找$3\frac{{1415926}}{{10000000}}$，它与3.1415926完全相等。但是它不够简洁，分子和分母的数目都太大。假如要找一对齿轮使它们啮合后的转速比是3.1415926，我们总不见得去造牙数分别是31415926和10000000的两个齿轮吧！在一般情况下，我们总是找两个牙数少一点的齿轮，宁可它们啮合后的转速比只是近似地等于3.1415926。例如，用$\frac{{355}}{{113}}$来作为3.1415926的近似值，这样只要制造牙数分别为113，355的两个齿轮，就可以近似地达到这个目的了。$\frac{{355}}{{113}}$叫作3.1415926的一个近似分数。

在寻找理想的近似分数时，“加成”就是一种重要的方法。例如，$\frac{3}{1}$和$\frac{4}{1}$分别是π的不足和过剩近似值，我们把它们记为。以它们作为的近似值，误差太大。作一次加成，得$\frac{7}{2}$，它大于π，所以是过剩近似值，记为。

将与再加成，得；

将再加成，得；

……

这样连续加成六次，可以得到下面一串分数：

    

这时，我们就从π的最粗糙的两个近似分数和得到了我国古代所称的“疏率。如果继续加成，还可以得到下面一连串近似分数：

      这个值由三国时代数学家刘徽首先得出，所以古代称它为徽率。

密率是祖冲之得出的。关于它的来历，数学史家有种种猜测。由于用加成法可以得出密率，同时，加成法在我国古代的天文历法计算中早已使用过（加成法在古代称为“调日法”），所以有人认为祖冲之可能是利用加成法而得到密率的。我国古代的二率（疏率$\frac{{22}}{7}$和密率$\frac{{355}}{{113}}$）传到日本之后，日本数学家关孝和下了很大的功夫去研究它的来历。在他的著作《括要算法》中，就列出过上面所讲过的一串分数。

将加成法用于求0.618…的近似分数，也很有趣：

我们从和出发，用加成法得到$\frac{3}{5}$，由于$\frac{3}{5}$＜0.618…，所以可以记为。

再对，使用加成法，得；

再对，使用加成法，得到；

……

逐次加成可以得到以下一串分数：

   

熟悉优选法的读者可以看出，这就是优选法中的“分数法”。上面这些分数都可以用来代替0.618。