古希腊哲学家芝诺提出过一个著名的悖论：希腊神话中的阿基利斯—一个以善跑著称的英雄，不能追上一个行动很慢的乌龟。他的具体论述如下：假定阿基利斯与乌龟沿着同一直线运动，乌龟在前，阿基利斯在后面追赶。不论阿基利斯跑的速度有多快，也无法追上乌龟。他的理由是：当阿基利斯到达乌龟的起点\(A\)时，乌龟在这段时间内又走到了\(A_1\)点。而当阿基利斯追到\(A_1\)时，乌龟又利用这一段时间跑到了\(A_2，\)这样就得到了一串点列：\(A，A_1，A_2，\cdots\)。当阿基利斯到乌龟上一次的起点\(A_{n-1}\)时，乌龟又利用这一段时间，从\(A_{n-1}\)向前慢慢移动到\(A_{n}\)。如此下去，阿基利斯将永远追不上乌龟。

我们该如何解释芝诺的悖论呢？问题出在哪里？

阿基利斯追到乌龟初始位置时，乌龟又向前跑了一段

古希腊哲学家芝诺

的确，在阿基利斯到达每一个点\(A_{n}\)时，他都落在乌龟之后，不管\(n\)有多大，都是如此。但是，阿基利斯“永远”追不上乌龟的结论不能成立。这是因为“永远”指的是时间，而\(n\)只是阿基利斯在追赶过程中没有追到乌龟之前的一串点\(A_{n}\)的编号而已。这个编号\(n\)可以任意大，完全不等于追赶时间要任意长。芝诺在讨论中偷换了概念。

现在，让我们计算一下阿基利斯自起点追赶到\(A_{n}\)的时间。

设比赛开始时乌龟与阿基利斯之间距离为\(d\)，而乌龟与阿基利斯的速度分别是\(v\)与\(u\)。假定\(q\)为\(v\)与\(u\)之比，即\(q=v/u\)，那么\(q\)是小于1的正数。阿基利斯自起点到达乌龟的起点\(A\)时所需要的时间为\(t_0=d/u\)，而在这一段时间内，乌龟从\(A\)走到\(A_1\)，而\(A\)到\(A_1\)的距离为 \[\overline{A A_1}=t_0v=\frac{d}{u}v=dq.\]

当阿基利斯自\(A\)走到\(A_1\)，所需的时间为 \[t_1=\frac{\overline{A A_1}}{u}=\frac{dq}{u}.\] 而在\(t_1\)这段时间内，乌龟又从\(A_1\)走到\(A_2\)，所走的距离为 \[\overline{A_1 A_2}=t_1v=\frac{dq}{u}v=dq^2.\]

奔跑的阿基利斯与乌龟

如此下去，用数学归纳法不难证明：\(A_{n-1}\)到\(A_n\)的距离是 \[\overline{A_{n-1}A_{n}}=dq^n.\]

有了这些公式，我们就可以推出从\(A\)到\(A_n\)的距离为 \[\overline{A A_n}=d(q+q^2+\cdots+q^n)=\frac{dq(1-q^n)}{1-q}<\frac{dq}{1-q},\] 而阿基利斯自起点到\(A_n\)的总时间为 \[T_n=t_0+t_1+\cdots+t_n=\frac{d(1-q^{n+1})}{u(1-q)}<\frac{d}{u(1-q)}.\] 这里最后一个等式用到了等比数列的求和公式。这样，无论\(n\)有多大，\(T_n\)不会超过一个固定的数\(\frac{d}{u(1-q)}\)，而且容易看出，当\(n \to \infty\)时， \[T_n=\frac{d(1-q^{n+1})}{u(1-q)}\rightarrow\frac{d}{u(1-q)}.\]

这就告诉我们，在阿基利斯追赶乌龟的过程中，总时间不会超过\(\frac{d}{u(1-q)}\)，怎么能说“永远”追不上呢？读者还不难验证，在阿基利斯追赶的时间达到\(\frac{d}{u(1-q)}\)时，他与乌龟恰好相遇。

总之，在上述例子中，随着\(n\)的增大，线段\(A_{n-1}\)\(A_n\)按一个固定比例缩小，从而阿基利斯走完这段路程\(A_{n-1}\)\(A_n\)所需的时间也按固定比例缩小。因此，所花费的总时间是个有限数，并不是无穷。

事实上，任何运动都是一个无限的过程。一个人从某一点走到另外一点，尽管所花的时间以及所走的距离都是有限的，但是运动的过程却是无限的，因为这个人必须走过无数个点才能到达目的地。这个过程的无限性不能推出所花的时间也是无限的。

一般说来，数学中的极限过程都是一个无限过程，但其极限值却是一个有限数。