生日是孩子们的一个重要节日。一到那天，爸爸、妈妈就买来蛋糕等礼物送给孩子，有的小朋友还邀请要好的同学一起来庆祝，过得很愉快。

不知你发现没有，在同班同学中，几乎总有生日相同的。不信，你可以去统计一下。对此，你一定会感到惊奇，因为一个班级不过40—50人，而一年有365天，生日怎么会“碰”在一起呢？下面我们来分析、计算一下。

我们要计算的是“40人中至少有两个人生日在同一天”的可能性。

“40人中至少有两个人生日在同一天”这件事，与“40人的生日都不在同一天”相反。所以，我们先来算“40人的生日都不在同一天”这件事的可能性。为了说明问题方便，我们暂时把人数改为4人，即先来计算“4人的生日都不在同一天”这件事的可能性。

随意找一个人甲，他的生日可以是365天中的任何一天，就是说有365种可能：1月1日，1月2日，1月3日，……如果甲是1月1日生的，再看第二个人乙。他的生日也有365种可能性：1月1日，1月2日，1月3日，……同样，第三人两、第四人丁都有365种可能性。如果要画出树图，是很复杂的，下面仅是这个复杂的树图的一个很小的局部。

可以想象出来，这个树图最终有365⁴个分枝，就是说4人的生日状况共有365⁴种情况。这365⁴种情况中，有些是有生日相同的，譬如，“甲生于1月1日，乙生于1月1日，丙生于1月2日，丁生于1月3日”。还有些是生日都不相同的，譬如，“甲生于1月1日，乙生于1月2日、丙生于1月3日、丁生于1月4日”。现在我们来统计，365⁴种情况中，“生日都不相同的”占了多少？

为了统计“生日都不相同的”情况占了多少，想从树图中一个个去找，是很复杂的事。我们只要这样想一下：如果甲是1月1日生，乙不能是1月1日生的，只能是1月2日生，1月3日生，……共有364种可能。如果甲是1月1日生，乙是1月2日生，丙不能是1月1日及2日生的，只能是1月3日生，1月4日生，……共有363种可能。同理可以知道，丁有362种可能。而甲有365种可能，这样一来，“甲、乙、丙、丁四人生日都不相同”这件事在365⁴种情况中占了365×364×363×362种。

因此，“甲、乙、丙、丁四人生日都不在同一天”的可能性是

$\frac{{365 \times 364 \times 363 \times 362}}{{{{365}^4}}} = 0.98 = 98\% $；

反过来，“甲、乙、丙、丁四人中至少有两人生在同一天”的可能性就是

1-0.98=0.02=2％。

这个可能性很小，这是理所当然的。

现在，将4人推广到40人。“40人的生日都不在同一天”的可能性应是

$\frac{{365 \times 364 \times 363 \times \cdots \times 326}}{{{{365}^{40}}}}{\text{ = }}0.1088{\text{ = }}10.88\% $；

反过来，“40人中至少有两人生于同一天”的可能性就是

1-0.1088=0.8912=89.12％，

几乎是“十拿九稳”的。

如果你班上有45人，那么，“至少有两人生于同一天”的可能性达到94.1％；如果你班上有50人，那更不得了，“至少有两人生于同一天”的可能性竟达到97.04％。

现有你信服了吗？