素数到底是有限个还是无限多个？这是个很基本的问题。事实上，素数有无穷多个，然而这并不是一件显然的事。

关于素数无限性的第一个证明，出现在欧几里得的传世名著《几何原本》中，为其第九篇的命题20。欧几里得采用的是反证法。假设总共只有\(k\)个素数，从小到大依次为\(p_1，p_2，…，p_k\)，考察\(P\)=\(p_1p_2…p_k+1\)，显然P大于\(p_k\)，于是P必定为合数。设\(p\)是\(P\)的任一个素因子，于是\(p\)必定是\(p_1，p_2，…，p_k\)中的一个，则必有\(p\)整除1，矛盾。这就证明了素数有无穷多个。

素数无限性的另一个证明是由欧拉给出的。同样用反证法，先假设总共只有\(k\)个素数，从小到大依次为\(p_1(=2)，p_2(=3)，…，p_k\)，其中\(k\)为某个正整数。考察乘积 \[N=\left ( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots \right )\left ( 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots \right )\cdots\left ( 1+\frac{1}{p_k}+\frac{1}{p_k^2}+\cdots \right ),\] 显然\(N\)是个有限正数。利用等比数列求和公式得 \[N=\frac{p_1}{p_1-1}\cdot \frac{p_2}{p_2-1}\cdot \cdots \cdot \frac{p_k}{p_k-1}=\frac{2}{2-1}\cdot \frac{3}{3-1}\cdot \cdots \cdot \frac{p_k}{p_k-1}.\]

由算术基本定理，每个大于1的整数\(n\)都可以写为\(p_1，p_2，…，p_k\)的某些方幂的乘积，从而对上述第一个式子去掉所有括号展开后，可得 \[N=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots.\] 但是欧拉已经知道，上式右端的正整数倒数之和为无穷大，这就出现矛盾。于是，就证明了素数有无穷多个。

如果素数只有有限个，那么数论中很多难题就不称其为难题了（甚至如哥德巴赫猜想将不复存在）。但这样一来，数论的魅力和研究价值也大为减弱了。

素数有无穷多个

欧拉的证明虽然比欧几里得的稍显复杂，但是它启发了德国数学家黎曼用ζ函数来研究素数分布。

证明了素数有无穷多以后，可以问一个更加深刻的问题：在数轴上取一个大数\(x\)，不超过\(x\)的素数有多少个？在18世纪末，高斯和勒让德猜测，不超过\(x\)的素数个数大约是\(x/\ 1n x\)，而且\(x\)越大这个近似值越精确。高斯的猜想给出了当x增大的时候不超过\(x\)的素数个数的增加速度。

为了证明这个猜想，黎曼提出并发展了ζ函数理论。黎曼的这项工作显然受到了欧拉关于素数无限性证明的启发。沿着黎曼指明的方向，在高斯的猜想提出100余年之后的1896年，法国数学家阿达马与比利时数学家普森分别给出了证明，自此，这个猜想被称为素数定理。

黎曼在发展ζ函数理论的过程中，提出了著名的黎曼猜想，这个猜想到现在也没有得到证明。黎曼猜想与素数分布联系紧密，其等价形式之一是：素数定理具有最佳可能的误差项。