在一些结晶体中，我们常可以看到一些特殊形状的多面体，它们的每个面都是完全相同的正多边形，每个多面角是完全相等的正多面角。这就是正多面体。尽管多面体的图形很多，但正多面体只有5种。这是为什么呢？

我们先来介绍一下欧拉公式。17世纪时，瑞士杰出的数学家欧拉曾经提出一个函数解析式：E=V+F-2。其中，E、V、F分别表示多面体的棱数、顶点数和面数。这个式子解决了一般多面体的面数、棱数和顶点数之间相互制约的关系，被称为欧拉公式。

现在我们来运用欧拉公式证明正多面体只有5种。

假设组成正多面体每个面的边数为m，那么，F个面共有mF条棱，但每条棱为相邻两个面所公有，因此，mF=2E。

                 

        

假设组成正多面体的每个顶点上的正多面角有n条棱，那么，V个顶点共有nV条棱，但每条棱有2个顶点，因此，nV=2E。

将上两式变形，代入欧拉公式，得

$E = \frac{{2E}}{n} + \frac{{2E}}{m} - 2$。

即

$\frac{1}{E} = \frac{1}{n} + \frac{1}{m} - \frac{1}{2}$。

下面我们先来看一下由正三角形为面构成的正多面体。

由于多面角其面角的和最多不能超过360°，而正三角形的内角是60°，因此，用正三角形组成的正多面角只可能有3种：正三面角、正四面角和正五面角。因为如果正六面角存在的话，由于60°×6=360°，这就拼成一个平面而不是多面角了。

于是当m=3时，有三种情况：

当n=3时，计算可得，E=6，F=4；是一个正四面体。

当n=4时，计算可得，E=12，F=8；是一个正八面体。

当n=5时，计算可得，E=30，F=20；是一个正二十面体。

再来看用正方形为面构成的正多面体。由于正方形的内角是90°，因此，只能组成正三面角。而当m=4时，n=3，可知E=12，F=6。即构成一个正六面体。

同理，由于正五边形的内角是108°，所以用它只能组成正三面角，而以它为面构成的正多面体也只能是一个正十二面体。

正六边形的内角是120°，不能组成正多面角。因此，正多面体只能包括正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体5种图形。

关键词：正多面体 正多面角 欧拉公式