在“韩信点兵”里为什么用3、5、7这三个数？用其他的数可以吗？要回答这个问题，必须研究韩信点兵问题的解法。

我们把韩信点兵的问题写成纯粹的数学问题，就是：有一个数被3除余a，被5除余b，被7除余c。问这个数最小等于多少？（这里a、b、c，是可以任意选取的）

按照韩信点兵的计算方法，这个数应等于70a+21b+15c。那么，

第一步：求d=70a+21b+15c。

第二步：如果d比105大，就减去105；或者减去105的若干倍，直到使所得的结果比105小。

这就是韩信点兵问题的纯粹数学化。如果取a=1，b=2，c=2，就得到上面“什么叫做韩信点兵”一文中的例子。这个例子可以这样解：

d=70×1+21×2+15×2

=142。

142-105=37。

37就是所求的得数。

现在我们就用这个例子，来分析一下韩信点兵问题为什么可以这样解。这里的关键问题是70、21、15、105这四个数和3、5、7中间的关系：

（1）因为70=2×5×7，

所以，70是5与7的公倍数。

又因为

70=3×23+1，

所以，70被3除后余数是1（商是23）。

因此，70是5与7的一个公倍数，它被3除后余数是1。

（2）同样的道理，21是3与7的一个公倍数，它被5除后余数是1。

（3）15是3与5的一个公倍数，它被7除后余数是1。

（4）105是3、5、7的最小公倍数。

105=3×5×7。

根据上面的这些关系，d-105确实是所求的得数。理由如下，因为

d-105=(3×23+1)×1+(3×7×2)+(3×5×2)-(3×5×7)

=3×23×1+1×1+3×7×2+3×5×2-3×5×7

=3×(23×1+7×2+5×2-5×7)+1

所以，d-105被3除的余数是1。

同样的道理，可以看出，d-105被5除后的余数是2；被7除后的余数是2。

也许你会问：在这样的问题中，5与7的公倍数里为什么一定有一个被3除余数是1呢？如果没有这样的数，是不是就不能解了呢？同样，为什么3与7的公倍数里一定有一个被5除余1的呢？为什么3与5的公倍数里一定有一个被7除余1的呢？

这个问题，提得很好。这就是“韩信点兵”里为什么要用3、5、7这三个数的理由。

我们知道，3、5、7中的任意两个数都是互素的。也就是说3、5；3、7；5、7的最大公约数都是1。这样的三个数称为是两两互素的。在“韩信点兵”里采用的三个数，只要是两两互素的就可以，不是两两互素的就不可以。

譬如4、6、7三个数不是两两互素的，其中4与6都是偶数，它们的最大公约数等于2。那么，6与7的任何一个公倍数都是偶数，被偶数4除得到的余数，也一定是偶数，而不可能等于1，所以，在这种情况下就找不到和70、21、15、105相当的四个数，因此，4、6、7这三个数在韩信点兵里就不能用。

又如2、3、11是两两互素的，因此，在这三个数之间一定可以找到与70、21、15、105相当的四个数，这就是：33、22、12和66。

因为33是3与11的一个公倍数，它被2除后，余数是1；

22是2与11的一个公倍数，它被3除后余数是1；

12是2与3的一个公倍数，它被11除后余数是1；

66是2、3、11的最小公倍数。

因此，在“韩信点兵”问题里也可以用2、3、11这三个数来数。

例如：有一个数，被2除余1，被3除余1，被11除余8。问这个数最小等于多少？

根据2、3、11与33、22、12和66的关系，可得：

33×1+22×1+12×8=151。

151-66×2=19。

所以，这个数最小等于19。