相信很多人都知道盲人摸象的故事。据说，有三个盲人从来没有见过大象，但是他们很想知道大象长得什么样子，于是就用手去摸。第一个人摸到了大象的尾巴，他便认为大象的外形与蛇一样；第二个人摸到了大象的耳朵，他认为大象的形状与扇子一样；第三个人摸到了大象的腿，大象在他的脑海里成了柱子状。

盲人摸象的故事告诫人们要从多方面认识事物，切不可以偏概全。倘若我们用几何的抽象眼光看待它，它倒能帮助我们理解维数的概念。大象的尾巴只有上下的区别，是一维的；如同扇子般的耳朵有上下、前后之分，是二维的；大象的腿不仅有上下、前后之分，还有左右之分，是三维的。一般地，在几何中的曲线如直线、圆周曲线等都是一维的，它只有一个独立方向，只能向前或向后运动；曲面都是二维的，拿平面来说，显然它有两个独立方向，能向前或向后、向左或向右地运动；而人类的生存空间是三维的，它有三个独立方向，有上下、左右、前后之分。因此，维数实际上是物体特征的标志。

那么，雪花曲线又是什么样的呢？它是由瑞典数学家柯赫以自然界的雪花为模型构造出来的，它的构造过程如下：设E₀是边长为1的正三角形，将E₀的每条边均作三等分，以中间的为边长作等边三角形，舍去这中间的，得E₁，再对E₁的每条边作三等分，重复刚才的操作，得E₂……如此不断继续下去。概括地说，E_k+1，是把E_k的每条边中间的用边长为的等边三角形的另外两条边代替得到的。当k越来越大时，E_k越来越复杂，锯齿越来越稠密。事实上，由于雪花曲线的构造步骤是无限的，所以，它只是一条理想曲线，永远也不可能达到。

居然有这样一条“永不可得”的曲线，真是不可思议！它与一般的曲线相比还有什么独特之处吗？有。首先，它是一条封闭的曲线，限定了一个确定的平面区域，显然有一个确定的面积。其次，它到底有多长呢?从其构造过程可以看出，每一步操作都使曲线长度比原来扩大了，是原来的倍，随着操作的一步步深入，可以想象雪花曲线的长度必然是无限大。最后，如果我们将视野缩小，将目光集中在雪花曲线的一个部分上，会惊奇地发现，原来其局部与整体的形状是一致的。雪花曲线有这些“过人之处”，这说明它的确不是一条普通的曲线。实际上，它是一条分形曲线。

对于这条神奇的分形曲线，如果我们还认为它是一维的，显然很不合适。因为在雪花曲线上已无方向可言，它的方向随着构造的一步步深入已经改变了无数次。那么，该如何定义它的维数呢?我们可从局部与整体形状的一致性着手。

如果将单位正方形Q的边长扩大两倍，将得到3²=9个单位正方形，它的维数D（Q）==2；如果将单位立方体C的边长扩大两倍，将得到3³=27个单位立方体，它的维数D（C）==3。这些与我们原来观念中的维数相符。对于雪花曲线k，也可以同样考虑。k是由边长为1的正三角形（如图1）变化得来的，即是由3个单位长度的线段不断构造而成。倘若将该正三角形的边长也扩大两倍，如图2所示，则新的雪花曲线将是由如图3所示的12条单位长度的边长不断构造而成。它是原来图形的4倍。也就是说，如果将雪花曲线k的初始单位正三角形的边长扩大两倍，将得到4倍于k的图形。所以D（k）==1.26，谜底终于揭晓，雪花曲线的分数维原来是这么得来的。可以说，它成功地刻画了雪花曲线这样一条与传统意义格格不入的奇怪的分形曲线的性质。

关键词：雪花曲线 维数